Kupas Tuntas Bilangan Berpangkat

Salam sehat dan sukses calon generasi emas.

Kalian tentu mengetahui skala Richer.

Skala itu dapat dibaca pada seismograf, yaitu alat pencatat kekuatan gempa.

Alat ini sangat sensitive sehingga dapat membaca getaran yang terjadi di permukaan bumi akibat gempa atau letusan gunung berapi.

Salah satu tanda kekuasaan Allah SWT adalah terjadinya gempa.

Peristiwa itu harus kita jadikan motivasi untuk selalu taat kepada-Nya.

Kekuatan gempa atau letusan gunung berapi sangat ditentukan besar kecilnya amplitudo saat terjadinya peristiwa itu.

Karena amplitudo gempa selalu berubah-ubah dan frekuensinya tinggi, memerlukan perhitungan dengan logaritma.

Skala Richer memanfaatkan logaritma dalam perhitungan besar amplitudo dari aktivitas gempa.

Di SMP/MTs kalian telah mempelajari bentuk pangkat tak sebenarnya, termasuk mempelajari sifat-sifat dan operasinya.

Kalian juga sudah mempelajari bentuk akar, sifat-sifatnya, operasinya, dan manipulasi aljabar bentuk akar.

Sekarang kita akan mempelajari materi itu lebih mendalam.

Setiap akan belajar, jangan lupa selalu memohon pada Allah SWT agar senantiasa diberikan kemudahan.

Bentuk Pangkat Bulat

Pangkat Bulat Positif

Mengamati

Amati kasus berikut dengan seksama !

Ali memiliki selembar kertas.

Ali ingin mengetahui hubungan antara banyak pengguntingan dan banyak potongan kertas, melalui aturan tertentu.

Aturannya adalah setiap kali kertas yang terpotong dikumpulkan menjadi satu dan dipotong lagi.

Perlakuan 1 : kertas dipotong menjadi 2 lembar

Banyak potongan : 2 lembar

Perlakuan ke 2 : hasil potongan (2 lembar) dikumpulkan menjadi satu, kemudian dipotong lagi.

Banyak potongan : 4 lembar

Perlakuan 3 : hasil potongan (4 lembar) dikumpulkan menjadi satu, kemudian dipotong lagi.

Banyak potongan : 8 lembar

Perlakuan 4 : hasil potongan (8 lembar) dikumpulkan menjadi satu, kemudian dipotong lagi.

Banyak potongan : 16 lembar

Perlakuan 5 : hasil potongan (16 lembar) dikumpulkan menjadi satu, kemudian dipotong lagi.

Banyak potongan : 32 lembar

….

Demikian seterusnya

Coba perhatikan, banyak perlakuan dan banyak potongan yang dihasilkan. Kita tuliskan dalam tabel berikut.

Banyak Perlakuan (n)	Banyak Potongan	Pola
1	2	2
2	4	2 x 2
3	8	2 x 2 x 2
4	16	2 x 2 x 2 x 2
5	32	2 x 2 x 2 x 2 x 2

Menanya

Tahukah kalian pola umumnya ?

coba kalian tentukan jika banyak perlakuan (banyak menggunting) adalah n.

Jika kita perhatikan, banyak potongan kertas di atas memiliki pola perkalian dengan bilangan yang sama yaitu 2.

Bentuk

2 dapat ditulis 2¹.

2 x 2 dapat ditulis 2².

2 x 2 x 2 dapat ditulis 2³.

2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2⁴.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2⁵.

Menalar

Sekarang perhatikan pada 2¹, 2², 2³, 2⁴, dan 2⁵.

Bilangan-bilangan yang seperti itu dinamakan bilangan berpangkat.

Pada bentuk 2⁵, bilangan 2 dinamakan bilangan yang dipangkatkan atau basis (bilangan pokok) dan 5 dinamakan pangkat atau eksponen.

Sekarang perhatikan perpangkatan berikut !

10⁴ = 10 x 10 x 10 x 10

                  4 faktor           

10⁵ = 10 x 10 x 10 x 10 x 10

                   5 faktor   

10⁶ = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

                      6 faktor

10ⁿ = 10 x 10 x 10 x 10 x ……. x 10

                      n faktor

Mencoba

Coba kalian rumuskan definisi perpangkatan.

Jika sudah, cocokkan jawaban kalian dengan definisi berikut.

Mengomunikasikan

Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, a pangkat n (ditulis aⁿ) didefinisikan sebagai perkalian berulang bilangan a sebanyak n faktor. Dalam notasi matematika ditulis :

aⁿ = a x a x a x …….. x a

Dengan a bilangan pokok (basis), a ≠ 0, dan n adalah pangkat (eksponen).

Sifat-sifat Pangkat Bulat

Sifat-sifat pangkat bulat dapat diturunkan dari definisi bilangan pangkat.

Perhatikan !

a⁴ x a³ = a x a x a x a  x   a x a x a

            = a x a x a x a x a x a x a

            = a⁷

Kemudian, perhatikan juga

a⁴ : a³ = a x a x a x a

                 a x a x a

            = a

Dari kedua operasi tersebut,

dapat disimpulkan sebuah pernyataan umum yang merupakan salah satu sifat pangkat bilangan bulat sebagai berikut.

a^m x aⁿ = a^{m + n} dan a^m : aⁿ = a^{m – n}, untuk a ≠ 0    

dengan menggunakan definisi bilangan berpangkat,

tentu kalian dapat membuktikan sifat-sifat berikut dengan mudah.

Jika a dan b bilangan real tidak nol, serta m dan n bilangan bulat,

berlaku sifat-sifat berikut !

(a x b)^m = a^m x b^m

(a : b)^m = a^m : b^m

(a^m)ⁿ = a^{m x n}

Sifat-sifat di atas mudah dibuktikan. Coba kalian buktikan !

Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Mengamati

Misalkan diberikan barisan bilangan sebagai berikut.

…..    10⁴,     10³,    10², 10¹, 10⁰, 10^-1, 10^-2, 10^-3, ….

            ↕        ↕       ↕     ↕     ↕   ↕      ↕     ↕

….. 10.000, 1.000, 100, 10, …… , ……, ……, …….., …..

Amati pola bilangan tersebut,

kemudian tuliskan jawaban kalian pada tempat yang tersedia.

Menanya

Dari hasil pengamatan pola bilangan tersebut,

bilangan ke-2 diperoleh dengan cara membagi bilangan ke-1 dengan 10,

bilangan ke-3 diperoleh dengan cara membagi bilangan ke-2 dengan 10, dan seterusnya.

Bagaimana pola bilangan selanjutnya ?

ternyata bilangan selanjutnya diperoleh dengan cara membagi bilangan sebelumnya dengan 10.

Menalar

Oleh karena itu, isian yang benar untuk pola bilangan di atas adalah sebagai berikut.

…..    10⁴,     10³,    10², 10¹, 10⁰,  10^-1,   10^-2,    10^-3, ….

            ↕         ↕       ↕     ↕      ↕     ↕        ↕         ↕

….. 10.000, 1.000, 100, 10,    1 , 1/10, 1/100, 1/1.000, …..

Mencoba

Dengan pola di atas, dapat dilihat bahwa 10⁰  = 1,  10^-1 = 1/10   10^-2 = 1/100.

Selanjutnya, diskusikan permasalahan berikut bersama kelompokmu !

Diskusi :

Dalam sifat bilangan berpangkat, berlaku  a^m : aⁿ = a^{m – n}, untuk a ≠ 0.

Selidikilah apa yang terjadi jika m = n !

Selidiki pula untuk m < n !

Apa yang dapat kamu simpulkan ?

Mengomunikasikan

Jika kalian mengerjakan diskusi dengan benar, akan diperoleh simpulan sebagai berikut.

Jika a sembarang bilangan real bukan nol maka a⁰ = 1.

Untuk a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif maka a^-n = 1/ aⁿ dan aⁿ = 1/ a^-n     

Berbeda dengan aⁿ, bilangan pangkat negatif a^-n tidak dapat didefinisikan sebagai perkalian berulang dari bilangan yang dipangkatkan.

Oleh karena itu, pangkat ini sering kali dinamakan pangkat tak sebenarnya.

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Contoh Soal :

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

     = 32

–3⁴ = (–1) x 3⁴

       = (–1) x 3 x 3 x 3 x 3

       = –81

(–3)⁴ = (–3) x (–3) x (–3) x (–3)

          = 81

5⁶ x 5³ = 5^{6  + 3}

            = 5⁹

(–2)⁷ x (–2)⁸ = (–2)^{7 + 8}

                      = (–2)¹⁵     atau

                      = (–1) x 2¹⁵

2⁸ : 2³ = 2^{8 – 3}

            = 2⁵

(3²)⁵ = 3^{2 x 5}

         = 3¹⁰

(2³ x 3⁵)⁴ = 2^{3 x 4} . 3^{5 x 4}

                = 2¹² . 3²⁰

(2/3)⁵ = 2⁵ / 3⁵

(a³ / b⁵)⁴ = a^{3 x 4} / b^{5 x 4}

                = a¹² / b²⁰

Asah Kemampuan Diri 01

Pelajari materi yang ada, Anda juga bisa mencari sumber lain sebagai referensi. Kerjakan soal di bawah ini !

Asah Kemampuan Diri 02

Pelajari materi yang ada, Anda juga bisa mencari sumber lain sebagai referensi. Kerjakan soal di bawah ini !

Persamaan Pangkat Sederhana

Kalian tentu telah paham dengan sifat-sifat pangkat.

Sifat-sifat itu akan bermanfaat untuk menyelesaikan persamaan pangkat.

Kali ini, kita hanya mempelajari persamaan pangkat sederhana.

Misalkan terdapat persamaan 2^x = 4.

Kalian tentu dapat menjawab bahwa x = 2.

Dari mana asal x = 2 ?

Perhatikanlah !

2^x = 4 ↔ 2^x = 2²

Bilangan pokok dikedua ruas harus sama.

Dalam hal ini, bilangan pokoknya 2.

Jika sudah demikian, perhatikan pangkat yang ada dikedua ruas.

Dari sini diperoleh x = 2.

Secara umum, persamaan pangkat dapat diselesaikan sebagai berikut.

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

Bagaimana jika bilangan pokok dikedua ruas tidak sama ?

jika demikian maka nilai yang memenuhi adalah kedua ruas harus sama dengan satu.

Untuk itu, pangkat kedua ruas harus sama dengan nol.

Jika a^f(x) = b^g(x) maka f(x) = 0 dan  g(x) = 0.

Contoh Soal

3^2x = 3^{x + 5}

Karena bilangan pokok sudah sama (yaitu 3) maka

      2x = x + 5

2x – x = 5

        x = 5

27^3x = 3¹⁸

Karena bilangan pokok belum sama maka kita samakan terlebih dahulu.

Samakan bilangan pokok kedua ruas (yaitu 3) maka

(3³)^3x = 3¹⁸

3^9x = 3¹⁸

Sehingga

      9x = 18

        x = 2

Asah Kemampuan Diri 03

Pelajari materi yang ada, Anda juga bisa mencari sumber lain sebagai referensi. Kerjakan soal di bawah ini !

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini :

Soal-Soal UN / USBN