Salam,

Alhamdulillah pada kesempatan kita kali ini

kita akan membahas secara TUNTAS mengenai TRANSFORMASI GEOMETRI

mulai dari rumus-rumus

contoh soal dan jawab

yang tentunya jarang kita temui dalam buku paket atau LKS

yuuk.. simak selengkapnya..

jangan lupa berdoa dulu ya..

Rumus dan Contoh Soal Translasi

Translasi Titik

Sebuah titik A(x,y) ditranslasikan T(p,q) maka bayangannya A'(x+p,y+q)

A(x,y) T(p,q) A'(x+p,y+q)

Contoh 1

Tentukan bayangan dari titik A(2,3) oleh translasi T(4,5) !

Jawab :

A(x,y) T(p,q) A'(x+p,y+q)

A(2,3) T(4,5) A'(2+4,3+5)

A(2,3) T(4,5) A'(6,8)

Jadi bayangannya adalah A'(6,8)

Contoh 2

Sebuah titik A(5,6) oleh translasi T menghasilkan bayangan A'(7,3). Tentukan translasinya !

Jawab :

A(x,y) T(p,q) A'(x+p,y+q)

A(5,6) T(p,q) A'(5+p,6+q)

A(5,6) T(p,q) A'(7,3)

sehingga bisa dituliskan

5+p=7 dan 6+q=3

p=7-5 dan q=3-6

p=2 dan q=-3

Jadi T(2,-3)

Contoh 3

Sebuah Titik A oleh translasi T(2,4) menghasilkan bayangan A'(6,2). Tentukan koordinat titik A !

Jawab :

A(x,y) T(p,q) A'(x+p,y+q)

A(x,y) T(2,4) A'(x+2,y+4)

A(x,y) T(2,4) A'(6,2)

sehingga bisa ditulis

x+2=6 dan y+4=2

x=6-2 dan y=2-4

x=4 dan y=-2

Contoh 4

Sebuah titik A(2,3) ditranslasikan T(3,2) menghasilkan bayangan A’, kemudian bayangan A’ ditranslasikan lagi T(4,5). Tentukan bayangannya !

Jawab :

A(x,y) T(p,q) A'(x+p,y+q)

A(2,3) T(3,2) A'(2+3,3+2)

A(2,3) T(3,2) A'(5,5)

kemudian

A'(x,y) T(p,q) A”(x+p,y+q)

A'(5,5) T(4,5) A”(5+4,5+5)

A'(5,5) T(4,5) A”(9,10)

Jadi bayangannya adalah A”(9,10)

Translasi Garis

Garis ax+by=c

Jika garis ax+by=c ditranslasikan T(p,q) maka bayangannya adalah ax+by=c+ap+bq

ax+by=c T(p,q) ax+by=c+ap+bq

Contoh 5

Tentukan bayangan garis 2x+3y=6 oleh translasi T(4,5) !

Jawab :

ax+by=c T(p,q) ax+by=c+ap+bq

2x+3y=6 T(4,5) 2x+3y=6+2.4+3.5

2x+3y=6+8+15

2x+3y=29

Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c ditranslasikan T(p,q) maka bayangannya adalah y = mx + c + q – mp

y = mx + c   T(p,q)   y = mx + c + q – mp  

Contoh 5

Tentukan bayangan garis y=2x+6 oleh translasi T(4,5) !

y = mx + c   T(p,q)   y = mx + c + q – mp  

Jawab

y = 2x + 6   T(4,5)    y = 2x + 6 + 5 – 2.4

                                 y = 2x + 6 + 5 – 8

                                y = 2x + 3

REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi Sumbu X

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap sumbu X maka bayangannya A’(x,–y)

A(x,y)        R_{sb x}     A’(x,–y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap sumbu X !

Jawab :

A(2,3)        R_{sb x}     A’(2,–3)

Jadi bayangannya adalah A’(2,–3)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah ax – by = c

ax + by = c         R_{sb x}     ax – by = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap sumbu X !

Jawab :

ax + by = c         R_{sb x}     ax – by = c

2x + 3y = 6         R_{sb x}     2x – 3y = 6

Jadi bayangannya adalah 2x – 3y = 6

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah y = –mx – c

y = mx + c         R_{sb x}     y = –mx – c        

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap sumbu X !

Jawab :

y = mx + c         R_{sb x}     y = –mx – c

y = 2x + 6         R_{sb x}     y = –2x – 6          

Jadi bayangannya adalah y = –2x – 6

Refleksi Sumbu Y

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap sumbu Y maka bayangannya A’(–x,y)

A(x,y)        R_{sb y}     A’(–x,y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap sumbu Y !

Jawab :

A(2,3)        R_{sb y}     A’(–2,3)

Jadi bayangannya adalah A’(–2,3)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap sumbu Y maka bayangannya adalah –ax + by = c

ax + by = c         R_{sb y}     –ax + by = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap sumbu Y !

Jawab :

ax + by = c         R_{sb y}     –ax + by = c

2x + 3y = 6         R_{sb y}     –2x + 3y = 6

Jadi bayangannya adalah –2x + 3y = 6

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap sumbu Y maka bayangannya adalah y = –mx + c

y = mx + c         R_{sb y}     y = –mx + c        

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap sumbu Y !

Jawab :

y = mx + c         R_{sb y}     y = –mx + c

y = 2x + 6         R_{sb y}     y = –2x + 6          

Jadi bayangannya adalah y = –2x + 6

Refleksi Pusat O(0,0)

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap Pusat O(0,0) maka bayangannya A’(–x,–y)

A(x,y)        R_{Pusat O(0,0)}     A’(–x,–y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap Pusat O(0,0) !

Jawab :

A(2,3)        R_{Pusat O(0,0)}     A’(–2,–3)

Jadi bayangannya adalah A’(–2,–3)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap Pusat O(0,0) maka bayangannya adalah –ax – by = c

ax + by = c         R_{Pusat O(0,0)}     –ax – by = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap Pusat O(0,0) !

Jawab :

ax + by = c         R_{Pusat O(0,0)}     –ax – by = c

2x + 3y = 6         R_{Pusat O(0,0)}     –2x – 3y = 6

Jadi bayangannya adalah –2x – 3y = 6

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap Pusat O(0,0) maka bayangannya adalah y = mx – c

y = mx + c         R_{Pusat O(0,0)}     y = mx – c

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap Pusat O(0,0) !

Jawab :

y = mx + c         R_{Pusat O(0,0)}     y = mx – c

y = 2x + 6         R_{Pusat O(0,0)}     y = 2x – 6  

Jadi bayangannya adalah y = 2x – 6

Refleksi Garis y =x

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y =x maka bayangannya A’(y,x)

A(x,y)        R_{Y = x}     A’(y,x)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap garis y =x !

Jawab :

A(2,3)        R_{Y = x}     A’(3,2)

Jadi bayangannya adalah A’(3,2)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap garis y =x maka bayangannya adalah bx + ay = c

ax + by = c         R_{Y = x}     bx + ay = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap garis y =x !

Jawab :

ax + by = c         R_{Y = x}     bx + ay = c

2x + 3y = 6         R_{Y = x}     3x + 2y = 6

Jadi bayangannya adalah 3x + 2y = 6

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap garis y =x maka bayangannya adalah y = 1/m(x – c)

y = mx + c         R_{Y = x}     y = 1/m(x – c)  

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap garis y =x !

Jawab :

y = mx + c         R_{Y = x}     y = 1/m(x – c)

y = 2x + 6         R_{Y = x}     y = 1/2(x – 6)    

Jadi bayangannya adalah y = 1/2(x – 6) atau y = ½ x – 3

Refleksi Garis y = –x

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = –x maka bayangannya A’(–y, –x)

A(x,y)        R_{Y = -x}     A’(–y, –x)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap garis y = –x !

Jawab :

A(2,3)        R_{Y = -x}     A’(–3, –2)

Jadi bayangannya adalah A’(–3, –2)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap garis y = –x maka bayangannya adalah –bx – ay = c

ax + by = c         R_{Y = -x}     –bx – ay = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap garis y = –x !

Jawab :

ax + by = c         R_{Y = -x}     bx + ay = c

2x + 3y = 6         R_{Y = -x}     –3x – 2y = 6

Jadi bayangannya adalah –3x – 2y = 6

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap garis y = –x maka bayangannya adalah y = 1/m(x + c)

y = mx + c         R_{Y = -x}     y = 1/m(x + c) 

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap garis y = –x !

Jawab :

y = mx + c         R_{Y = -x}     y = 1/m(x + c)

y = 2x + 6         R_{Y = -x}     y = 1/2(x + 6)   

Jadi bayangannya adalah y = 1/2(x + 6) atau y = ½ x + 3

Refleksi Garis x = h

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x = h maka bayangannya A’(2h–x,y)

A(x,y)        R_{x = h}     A’(2h–x,y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap garis x = 4 !

Jawab :

A(x,y)        R_{x = h}     A’(2h–x,y)

A(x,y)        R_{x = 4}     A’(2.4–2,3)

                               A’(8–2,3)

                               A’(6,3)

Jadi bayangannya adalah A’(6,3)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap garis x = h maka bayangannya adalah –ax + by = c – 2ah

ax + by = c         R_{x = h}     –ax + by = c – 2ah

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap garis x = 4 !

Jawab :

ax + by = c         R_{x = h}     –ax + by = c – 2ah

2x + 3y = 6         R_{x = 4}     –2x + 3y = 6 – 2.2.4

                                        –2x + 3y = 6 – 16

                                        –2x + 3y = – 6

Jadi bayangannya adalah –2x + 3y = – 6

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap garis x = h maka bayangannya adalah y = –mx + c + 2mh

y = mx + c         R_{x = h}     y = –mx + c + 2mh

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap garis x = 4 !

Jawab :

y = mx + c         R_{x = h}     y = –mx + c + 2mh

y = 2x + 6         R_{x = 4}     y = –2x + 6 + 2.2.4

                                      y = –2x + 6 + 16

                                      y = –2x + 22        

Jadi bayangannya adalah y = –2x + 22

Refleksi Garis y = k

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = k maka bayangannya A’(x,2k–y)

A(x,y)        R_{y = k}     A’(x,2k–y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap garis y = 5 !

Jawab :

A(x,y)        R_{y = k}     A’(x,2k–y)

A(2,3)        R_{y = 5}     A’(2,2.5–3)

                               A’(2,10–3)

                               A’(2,7)

Jadi bayangannya adalah A’(2,7)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap garis y = k maka bayangannya adalah ax – by = c – 2bk

ax + by = c         R_{y = k}     ax – by = c – 2bk

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap garis y = 5 !

Jawab :

ax + by = c         R_{y = k}     ax – by = c – 2bk

2x + 3y = 6         R_{y =5}     2x – 3y = 6 – 2.3.5

                                        2x – 3y = 6 – 30

                                        2x – 3y = –24

Jadi bayangannya adalah 2x – 3y = –24

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap garis y = k maka bayangannya adalah y = –mx – c + 2k

y = mx + c         R_{y = k}     y = –mx – c + 2k    

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap garis y = 5 !

Jawab :

y = mx + c         R_{y = k}     y = –mx – c + 2k

y = 2x + 6         R_{y = 5}     y = –2x – 6 + 2.5

                                      y = –2x – 6 + 10

                                      y = –2x + 4          

Jadi bayangannya adalah y = –2x + 4

Refleksi Titik (h,k)

Refleksi titik

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap titik (h,k) maka bayangannya A’(2h–x,2k–y)

A(x,y)        R_(h,k)     A’(2h–x,2k–y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang direfleksikan terhadap titik (4,5) !

Jawab :

A(x,y)        R_(h,k)     A’(2h–x,2k–y)

A(2,3)        R_(4,5)     A’(2.4–2,2.5–3)

                               A’(8–2,10–3)

                               A’(6,7)

Jadi bayangannya adalah A’(6,7)

Refleksi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c direfleksikan terhadap titik (h,k) maka bayangannya adalah ax + by = –c + 2ah + 2bk

ax + by = c         R_(h,k)     ax + by = –c + 2ah + 2bk

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang direfleksikan terhadap titik (4,5) !

Jawab :

ax + by = c         R_(h,k)     ax + by = –c + 2ah + 2bk

2x + 3y = 6         R_(4,5)     2x + 3y = –6 + 2.2.4 + 2.3.5

                                        2x + 3y = –6 + 16 + 30

                                        2x + 3y = 40

Jadi bayangannya adalah 2x + 3y = 40

Refleksi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c direfleksikan terhadap titik (h,k) maka bayangannya adalah y = mx – c – 2mh + 2k

y = mx + c         R_(h,k)     y = mx – c – 2mh + 2k         

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang direfleksikan terhadap titik (4,5) !

Jawab :

y = mx + c         R_(h,k)     y = mx – c – 2mh + 2k

y = 2x + 6         R_(4,5)     y = 2x – 6 – 2.2.4 + 2.5

                                      y = 2x – 6 – 16 + 10

                                      y = 2x – 12          

Jadi bayangannya adalah y = 2x – 12

ROTASI (PERPUTARAN)

Rumus Umum

Rotasi titik

Jika titik A(x,y) dirotasikan sejauh a^o maka bayangannya A’(x.cos a^o–y.sin a^o,x.sin a^o + y.cos a^o)

A(x,y)        Ra^o     A’(x.cos a^o–y.sin a^o,x.sin a^o + y.cos a^o)

Ingat-ingat kembali sudut istimewa ya…

Rotasi sudut 90^o Berlawanan Arah Jarum Jam

Rotasi titik

Jika titik A(x,y) dirotasikan sejauh 90^o berlawanan arah jarum jam maka bayangannya A’(–y,x)

A(x,y)        R+90^o     A’(–y,x)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang dirotasikan sejauh 90^o berlawanan arah jarum jam !

Jawab :

A(x,y)        R+90^o     A’(–y,x)

A(2,3)        R+90^o     A’(–3,2)

Jadi bayangannya adalah A’(–3,2)

Rotasi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c dirotasikan sejauh 90^o berlawanan arah jarum jam maka bayangannya adalah –bx + ay = c

ax + by = c         R+90^o     –bx + ay = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang dirotasikan sejauh 90^o berlawanan arah jarum jam !

Jawab :

ax + by = c         R+90^o     –bx + ay = c

2x + 3y = 6         R+90^o     –3x + 2y = 6

Jadi bayangannya adalah –3x + 2y = 6

Rotasi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c dirotasikan sejauh 90^o berlawanan arah jarum jam maka bayangannya adalah y = –1/m(x + c)

y = mx + c         R+90^o     y = –1/m(x + c)   

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang dirotasikan sejauh 90^o berlawanan arah jarum jam !

Jawab :

y = mx + c         R+90^o     y = –1/m(x + c)

y = 2x + 6         R+90^o     y = –1/2(x + 6)     

Jadi bayangannya adalah y = –1/2(x + 6) atau y = –1/2 x – 3.

Rotasi sudut 90^o Searah Jarum Jam

Rotasi titik

Jika titik A(x,y) dirotasikan sejauh 90^o searah jarum jam maka bayangannya A’(y,–x)

A(x,y)        R–90^o     A’(y,–x)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang dirotasikan sejauh 90^o searah jarum jam !

Jawab :

A(x,y)        R–90^o     A’(y,–x)

A(2,3)        R–90^o     A’(3,–2)

Jadi bayangannya adalah A’(3,–2)

Rotasi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c dirotasikan sejauh 90^o searah jarum jam maka bayangannya adalah bx – ay = c

ax + by = c         R–90^o     bx – ay = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang dirotasikan sejauh 90^o searah jarum jam !

Jawab :

ax + by = c         R–90^o     bx – ay = c

2x + 3y = 6         R–90^o     3x – 2y = 6

Jadi bayangannya adalah 3x – 2y = 6

Rotasi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c dirotasikan sejauh 90^o searah jarum jam maka bayangannya adalah y = –1/m(x – c)

y = mx + c         R–90^o     y = –1/m(x – c)   

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang dirotasikan sejauh 90^o searah jarum jam !

Jawab :

y = mx + c         R–90^o     y = –1/m(x – c)

y = 2x + 6         R–90^o     y = –1/2(x – 6)     

Jadi bayangannya adalah y = –1/2(x – 6) atau y = –1/2 x + 3

Rotasi sudut 180^o (Berlawanan atau Searah Jarum Jam)

Untuk sudut 180^o Baik berlawanan atau Searah Jarum Jam memiliki rumus yang sama.

Rotasi titik

Jika titik A(x,y) dirotasikan sejauh 180^o maka bayangannya A’(–x,–y)

A(x,y)        R180^o     A’(–x,–y)

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,3) yang dirotasikan sejauh 180^o !

Jawab :

A(x,y)        R180^o     A’(–x,–y)

A(2,3)        R180^o     A’(–2,–3)

Jadi bayangannya adalah A’(–2,–3)

Rotasi Garis ax + by = c

Jika garis ax + by = c dirotasikan sejauh 180^o maka bayangannya adalah –ax – by = c

ax + by = c         R180^o     –ax – by = c

Contoh :

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 yang dirotasikan sejauh 180^o !

Jawab :

ax + by = c         R180^o     –ax – by = c

2x + 3y = 6         R180^o     –2x – 3y = 6

Jadi bayangannya adalah –2x – 3y = 6

Rotasi Garis y = mx + c

Jika garis y = mx + c dirotasikan sejauh 180^o maka bayangannya adalah y = mx – c

y = mx + c         R180^o     y = mx – c      

Contoh :

Tentukan bayangan garis y = 2x + 6 yang dirotasikan sejauh 180^o !

Jawab :

y = mx + c         R180^o     y = mx – c

y = 2x + 6         R180^o     y = 2x – 6         

Jadi bayangannya adalah y = 2x – 6